Question

Показать что функция $f(z)=(x^{3} -3xy^{2} )+i(3x^{2}y -y^{3} )$
дифферинцирована и найти ее производную. Я сам решал шел по верному пути но споткнулся помогите) Решается через условия Коши Римана.

Answer 1

Ответ:

$f'(z)=3z^2$

Пошаговое объяснение:

1. Найдем мнимую и действительную части функции

$f(z)=u(x,y)+i\cdotv(x,y)$

$u(x,y)=x^3-3xy^2$

$v(x,y)=3x^2y-y^3$

2. Проверим выполнение условия Коши-Римана

$\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial y}\\\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial x}$

1. Найдем производную по х функции u

$\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial (x^3-3xy^2)}{\partial x}=3x^2-3y^2$

2. Найдем производную по у функции v

$\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial (3x^2y-y^3)}{\partial y}=3x^2-3y^2$

Производные совпадают - первое условие Коши-Римана выполнено

3. Найдем производную по у функции u

$\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial (x^3-3xy^2)}{\partial y}=-6xy$

4. найдем производную по х функции v

$\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial (3x^2y-y^3)}{\partial x}=6xy$

Данные производные отличаются знаком, второе условие Коши-Римана выполнено

Значит данная функция дифференцируема

3. Найдем производную

Упростим нашу функцию, зная что  

$x=\b{Re} ~z\\y=\b{Im}~z$

$f(z)=f(x+iy)=x^3-3xy^2+3ix^2y-iy^3=x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3=(x+iy)^3=z^3$

Тогда

$f'(z)=(z^3)'=3z^2$

ОТВЕТ $f'(z)=3z^2$