Question

x^3-5x^2-6x+4 как решить подскажите пожалуйста)​

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac53+\dfrac23\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$

$x=\dfrac53-\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)-\sqrt3\cdot\dfrac13\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$$x=\dfrac53-\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)+\sqrt3\cdot\dfrac13\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$

Пошаговое объяснение:

1. Перед нами кубическое уравнение

$x^3-5x^2-6x+4=0$

2. Явных формул чтобы разложить на множители нет, попробуем разложить схемой Горнера

$x=1\to x^3-5x^2-6x+4 = 1-5-6+4=-6\neq0$ - не подходит

$x=-1\to x^3-5x^2-6x+4 = -1-5+6+4=4\neq0$ - не подходит

$x=2\to x^3-5x^2-6x+4 = 8-20-12+4=-20\neq0$ - не подходит

$x=-2\to x^3-5x^2-6x+4 = -8-20+12+4=-12\neq0$ - не подходит

Все плохо, разложить на "красивые" множители нельзя

3. Решаем формулой Кардано

4. Сделаем замену $y=x-\dfrac53$

тогда уравнение имеет вид

$\bigg(x-\dfrac53\bigg)^3-\dfrac{43}3\bigg(x-\dfrac53\bigg)-\dfrac{412}{27}$

5. Определим величину Q

$Q=\left(\dfrac{-\dfrac{43}3}{3}\right)^3+\left(\dfrac{-\dfrac{412}{27}}{2}\right)^2=-\dfrac{43^3}{9^3}+\dfrac{412^2}{54^2}=-\dfrac{79507}{729}+\dfrac{169744}{2916}=-\dfrac{79507}{729}+\dfrac{42436}{729}=-\dfrac{1373}{27}$

6. Тогда определим величины а и b$a=\sqrt[3]{-\dfrac q2+\sqrt Q}=\sqrt[3]{-\dfrac{-\dfrac{412}{27}}2+\sqrt{-\dfrac{1373}{27}}}=\sqrt[3]{\dfrac{206}{27}+i\sqrt{\dfrac{1373}{27}}}=\dfrac13\sqrt[3]{i(3\sqrt{4119}-206i)} = \dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)+\dfrac13i\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\Bigg)$$b=\sqrt[3]{-\dfrac q2-\sqrt Q}=\sqrt[3]{-\dfrac{-\dfrac{412}{27}}2-\sqrt{\dfrac{121943}{729}}}=\sqrt[3]{\dfrac{206}{27}-i\sqrt{\dfrac{1373}{27}}}=\dfrac13\sqrt[3]{i(3\sqrt{4119}+206i)} = \dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)-\dfrac13i\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\Bigg)$7. Запишем корни по формуле Кардано

$y_1=a+b=\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)+\dfrac13i\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\Bigg)+\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)-\dfrac13i\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\Bigg)=$$\dfrac23\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$

$y_2=\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)-\sqrt3\cdot\dfrac13\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$$y_3=\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)+\sqrt3\cdot\dfrac13\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$

Мы нашли у - теперь найдем х

$x=\dfrac53+\dfrac23\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$

$x=\dfrac53-\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)-\sqrt3\cdot\dfrac13\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$$x=\dfrac53-\dfrac13\sqrt[6]{79507}\cos\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)+\sqrt3\cdot\dfrac13\sqrt[6]{79507}\sin\Bigg(\dfrac13\b{arctg}\bigg(\dfrac{3\sqrt{4119}}{206}\bigg)\Bigg)$