Question

помогите пожалуйста,иследование функции на непрерывность.:( пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

функция не является непрерывной, в точке 2 она терпит разрыв первого рода

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим "критические" точки функции:

это точки - края определения кусочно-заданой функции

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x+1,x\leq 0\\1+2x,0<x<2\\x-2,x\geq 2\end{array}\right.$

точки: х = 0 и х = 2

1. Точка х = 0

1. В данной точке существует значение функции?

Да, $f(0)=0+1=1$

2. Выполняется равенство односторонних пределов?

Да,

$\displaystyle \lim_{x\to0-0} f(x)= \lim_{x\to0+0} f(x)\\\lim_{x\to0-0}x+1= \lim_{x\to0+0} 1+2x\\0+1=1+2\cdot0\\1=1$

3. Существует ли предел в этой точке и конечен ли он?

Да, $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x+1=1$

Вывод: в точке 0 функция непрерывна

2. Точка х = 2

1. В данной точке существует значение функции?

Да, $f(2)=2-2=0$

2. Выполняется равенство односторонних пределов?

Нет,

$\displaystyle \lim_{x\to2-0} f(x)\neq \lim_{x\to2+0} f(x)\\\lim_{x\to2-0}1+2x\neq \lim_{x\to0+0} x-2\\1+2\cdot2\neq2-2\\5\neq0$

В этой точке функция терпит разрыв первого рода, а значит не является непрерывной