Question

Доказать, что $\lim_{n \to \infty}$ cos(x²), где лимит стремится к бесконечности, не существует

Answer 1

Пусть не так, и предел существует.

Рассмотрим определение предела по Гейне: $\lim\limits_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \lim\limits_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

Тогда рассмотрим 2 последовательности: $\left\{ x_n \right\}=\sqrt{2\pi n}$ и $\left\{ y_n \right\}=\sqrt{2\pi n+\dfrac{\pi}{2}}$

$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \sqrt{2\pi }\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{ n}=\infty, \lim\limits_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \cos 2\pi n=\lim\limits_{n \to \infty} \cos 0=1$

$\lim\limits_{n \to \infty} y_n =\infty, \lim\limits_{n \to \infty} f \left( y_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \cos (2\pi n+\dfrac{\pi}{2})=\lim\limits_{n \to \infty} \cos \dfrac{\pi}{2}=0$

$0\neq 1$ - противоречие. А значит исходный предел $\lim\limits_{x\to \infty}cos(x^2)$ не существует