Question

ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ!
Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

Answer 1

Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

Объяснение:

1) Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых - правильный треугольник.  Пусть ребро октаэдра а.

V( октаэдра)=1/3*√2*а³ , ABCD-квадрат .

2) Пусть Р-центр правильного ΔАВМ .Тогда М-точка пересечения медиан .Тогда по т. о точке пересечения медиан  $\frac{MP}{PX} =\frac{2}{1}$ ⇒ $\frac{MP}{MX} =\frac{2}{3}$ .

3) Аналогично для правильного ΔDCМ ⇒  $\frac{MK}{MY} =\frac{2}{3}$  .

4) ΔМРК подобен ΔМXY по 2-м пропорциональным сторонам ( см п. 2,3) и равному углу между этими сторонами (∠РМК-общий).

Тогда $\frac{PK}{XY} =\frac{2}{3}$  , $\frac{PK}{a} =\frac{2}{3}$  ,РК= $\frac{2}{3}$*а  .

5) V( куба)=( $\frac{2}{3}$*а)³ = $\frac{8}{27}$*а³ .  Тогда отношение объёмов будет равно :

$\frac{\frac{1}{3}*\sqrt{2}*a^{3} }{\frac{8}{27}*a^{3} }$ = $\frac{9\sqrt{2} }{8}$ .