Question

Написать уравнения касательной и нормали к заданной в неявном виде кривой F(x;y) = 0, проходящих через точку (x;y), координаты которой удовлетворяют условию:
log
$log_{2}(x + 1) + \sqrt{y - 1} = 8$
(x=15)
​

Answer 1

Пусть $F(x, ~ y) = \log_{2}(x+1) + \sqrt{y-1}-8$ и задана в неявном виде $F(x, ~ y) = 0.$

Тогда если $x = 15$, то

$\log_{2}(15+1) + \sqrt{y-1} - 8 = 0;$

$\log_{2}16 + \sqrt{y-1} - 8 = 0;$

$4 + \sqrt{y-1} - 8 = 0;$

$\sqrt{y-1} = 4;$

$y - 1 = 16;$

$y = 17.$

Следовательно, $y(15)=17.$

Найдем $y' \colon$

$y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-\dfrac{\partial F}{\partial x} }{\dfrac{\partial F}{dy} } = -\dfrac{F'_{x}}{F'_{y}} = -\dfrac{2\sqrt{y-1}}{\ln 2 (x+1)}$

$y'(15) = -\dfrac{2\sqrt{17-1}}{\ln 2 \cdot (15+1)} =\dfrac{2\sqrt{16}}{\ln 2 \cdot 16} = \dfrac{1}{2\ln 2}$

Находим уравнение касательной:

$y = y'(x_{0})(x - x_{0}) + y(x_{0})=\dfrac{1}{2\ln 2}(x - 15) + 17 = \dfrac{x - 15}{2\ln 2} +17$

и уравнение нормали в этой же точке:

$y = -\dfrac{1}{y'(x_{0})} (x - x_{0}) + y(x_{0})=-2\ln 2(x - 15) + 17$