Question

Таня написала на доске число 33, а Тоня написала 48. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 29 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?​

Answer 1

Ответ:

425

Пошаговое объяснение:

Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.

Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.

Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 33+14х.

Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 48 + 29у.

И эти числа должны быть равны.

33+14х = 48 + 29у

14х -29у = 15

Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:

ax +by = c

Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле

х = х₁ + kb

y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.

В нашем случае

14х -29у = 15

a = 14; b = -29;  c = 15

и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1  у₁ = -1 (мы берем именно такое частное решение потому, что оно даст нам меньшие корни уравнений).

14*(-1) -29*(-1)=15

Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:

х= -1 - 29k;

y = -1 -14k;

Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),

тогда

х = -1 -29*(-1) = -1 +29 =28;

у = -1 -14*(-1) = -1 + 14 = 13

Таким образом,

через 28 написаний чисел Таня получит 33+ 14*28=425;

через 13 написания чисел Тоня получит48+29*13 =425.

Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно425.

ответ

число 425