Таня написала на доске число 59, а Тоня написала 63. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 43 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 47 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?
Ответы
Ответ:
2037
Пошаговое объяснение:
Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.
Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.
Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 59+43х.
Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 63 + 47у.
И эти числа должны быть равны.
59+43х = 63+47у
43х -47у = 4
Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:
ax +by = c
Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле
х = х₁ + kb
y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.
В нашем случае a = 43; b = -47; c = 4
и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1 у₁ = -1
43*(-1) -47*(-1)= 4
Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:
х= -1 - 47k;
y = -1 -43k
Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),
тогда
х = -1 -47*(-1) = -1 +47 = 46;
у = -1 -43*(-1) = -1 + 43 = 42
Таким образом,
через 46 написаний чисел Таня получит 59 + 43*46= 2037;
через 42 написания чисел Тоня получит 63 + 47*42 = 2037.
Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 2037.
ответ
наименьшим общим числом, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня будет число 2037