Таня написала на доске число 69, а Тоня написала 27. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 53 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 11 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?
Ответы
Ответ:
599
Пошаговое объяснение:
Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.
Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.
Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 69+53х.
Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 27 + 11у.
И эти числа должны быть равны.
69+53х = 27 + 11у
53х -11у = -42
Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:
ax +by = c
Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле
х = х₁ + kb
y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.
В нашем случае
53х -11у = -42
a = 53; b = -11; c = -42
и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1 у₁ = -1 (мы берем именно такое частное решение потому, что оно даст нам меньшие корни уравнений).
53*(-1) -11*(-1)= -42
Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:
х= -1 - 11k;
y = -1 -53k
Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),
тогда
х = -1 -11*(-1) = -1 +11 =10;
у = -1 -53*(-1) = -1 + 53 = 52
Таким образом,
через 10 написаний чисел Таня получит 69+ 53*10=599;
через 13 написания чисел Тоня получит27+11*52 =599.
Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 599.
ответ
число 599