Question

Таня написала на доске число 27, а Тоня написала 52. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 39 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?

Answer 1

Ответ:

559

Пошаговое объяснение:

Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.

Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.

Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 27+14х.

Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 52 + 39у.

И эти числа должны быть равны.

27+14х = 52+39у

14х -39у =25

Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:

ax +by = c

Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле

х = х₁ + kb

y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.

В нашем случае

14x - 39y = 25

a = 14; b = -39;  c = 25

и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1  у₁ = -1

14*(-1) -39*(-1)= 25

Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:

х= -1 - 39k;

y = -1 -14k  

Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),

тогда

х = -1 -39*(-1) = -1 +39 = 38;

у = -1 -14*(-1) = -1 + 14 = 13

Таким образом,

через 39 написаний чисел Таня получит 27 + 14*38= 559;

через 13 написания чисел Тоня получит 52+ 39*13 = 559.

Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 559.

ответ

число 559