Таня написала на доске число 32, а Тоня написала 45. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 27 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?
Ответы
Ответ:
396
Пошаговое объяснение:
Здесь в условии неоднозначность - следует так задать вопрос
"Каким будет наименьшее общее число"
Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.
Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа,
тогда у Тани будет число 32+14х.
Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа,
тогда у Тони будет число 45 + 27у.
И эти числа должны быть равны.
32+14х = 45+27у
14х -27у = 13
Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:
ax +by = c
Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле
х = х₁ + kb
y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.
В нашем случае
a = 14
b = -27
c = 13
и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1 у₁ = -1
14*(-1) -27*(-1)= 13
Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:
х= -1 - 27k
y = -1 -14k
Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),
тогда х = -1 -27*(-1) = -1 +27 = 26
у = -1 -14*(-1) = -1 + 14 = 13
Таким образом,
через 26 написаний чисел Таня получит 32+14*26= 396
через 13 написаний чисел Тоня получит 45 + 13*27 = 396
Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 396.
ответ
наименьшим общим числом, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня будет число 396