Question

Провести полное исследование функции и построить ее график

Answer 1

1. Функция

$y=\dfrac{x+1}{(x-1)^2}$

2. Область определения

$\mathbb D(y)=\{x~|~(x-1)^2\neq0\}=\{x~|~x\neq1\}=\mathbb R\setminus\{1\}=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$

3. Область значений

$\mathbb E(y)=\{y~|~y\geq -\dfrac18\}=[-\dfrac18;+\infty)$

4. Нули

$y=0\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{(x-1)^2}=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1$

5. Промежутки знакопостоянства

$y>0\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{(x-1)^2}>0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc}x+1>0\\x\neq1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc}x>-1\\x\neq1\end{array}\right.\\y<0\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{(x-1)^2}<0\Leftrightarrow x+1<0\Leftrightarrow x<-1$

6. Четность/нечетность/периодичность

$y(-x)=\dfrac{-x+1}{(-x-1)^2}=-\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\neq\dfrac{x+1}{(x-1)^2}=y(x)\\y(-x)=\dfrac{-x+1}{(-x-1)^2}=-\dfrac{x-1}{(x+1)^2}\neq-\dfrac{x+1}{(x-1)^2}=-y(x)$

не нечетна, не четна, не периодична

7. Непрерывность

критические точки: х = 1 (делим на 0)

$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x+1}{(x-1)^2}=\dfrac20=+\infty$

Разрыв второго рода

8. Экстремумы, промежутки возрастания/убывания

$y'=\bigg(\dfrac{x+1}{(x-1)^2}\bigg)'=\dfrac{(x+1)'(x-1)^2-(x+1)(x-1)^2'}{(x-1)^4}=\dfrac{(x-1)^2-2(x^2-1)}{(x-1)^4}=\dfrac{-(x-1)(x+3)}{(x-1)^4}=-\dfrac{x+3}{(x-1)^3}\\y'=0\Leftrightarrow -\dfrac{x+3}{(x-1)^3}=0\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3\\y(-3)=\dfrac{-3+1}{(-3-1)^2}=-\dfrac2{16}=-\dfrac18\\\min y=-\dfrac18 ~~at~x=-3\\y\uparrow~\Leftrightarrow x\in(-3;1)\\y\downarrow~\Leftrightarrow x\in (-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

9. Точки перегиба

$y''=\dfrac{2(x+5)}{(x-1)^4}\\y''=0\Leftrightarrow x=-5\\y\cup~\Leftrightarrow x\in(-5;1)\cup(1;+\infty)\\y\cap~\Leftrightarrow x\in(-\infty;-5)$

10. Асимптоты

вертикальные:

$x=1$

горизонтальные:

$y=kx+b\\k=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x(x-1)^2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac1x}{(x-1)^2}=\dfrac1\infty=0\\b=\lim_{x\to\infty}y-kx=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{(x-1)^2}-0x=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{(x-1)^2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac1x}{x-2+\dfrac1x}=\dfrac1\infty=0\\y=0x+0\\y=0$

11. График