Question

Пожалуйста решите даю 43 балла.

1.решите иррациональные уравнения

2.решите систему уравнений

3.решите тригонометрические уравнения

Answer 1

$x-2=\sqrt{2-x} \\2-x-(x-2)^2=0\\-(x-2)-(x-2)^2=0\\(x-2)(-1+x) = 0\\x-2=0\\x_1= 2\\-1+x=0\\x_2=1$

Ответ будет $x = 2$, потому что при подстановке $-1 \neq 1$.

$\dfrac{2}{3} \sqrt{2x+3} = 2\\\\\sqrt{2x+3} = 3\\(\sqrt{2x+3})^2 = 3^2\\2x+3=9 \\2x=6\\x=3$

$\begin{cases} 2^x-2^y=16 \\x+y=9 \end {cases}\\\\x=9-y\\2^{9-y}-2^y=16\\\\\dfrac{2^9}{2^y}-2^y=16\\\\2^y=t,~~t>0\\\\\dfrac{2^9}{t}-t=16\\\\\dfrac{512-t^2}{t}=16\\\\512-t^2=16t\\t^2+16t-512=0\\D = 256+2048 = 2304\\\\t_1 = \dfrac{-16+48}{2} = \dfrac{32}{2} = 16\\t_2 = \dfrac{-16-48}{2} = \dfrac{-64}{2} = -32, ~~~ -32 < 0\\2^y = 16\\2^y=2^4\\y=4\\x= 9-4 = 5\\\\\boxed{x = 5,~~y = 4}$

$\begin{cases} 3^x+3^y=28 \\x-y=3 \end{cases} \\\\x=3+y\\3^{3+y} + 3^y = 28\\3^3\cdot3^y+3^y = 28\\3^y = t\\27t+t=28\\t=1\\\\3^y=1\\y=0\\x = 3$

$cos(x)-sin^2(x)-cos^2(x) = 0$

Используя $sin^2(x)+cos^2(x)=1$, упрощаем часть уравнения

$-sin^2(x)-cos^2(x) = -(sin^2(x)+cos^2(x)) = -1$

$cos(x) -1=0\\cos(x)=1\\x = 2\pi n,~n \in Z$