Question

Помогите пожаааалуйста решить
$\lim_{x \to \00} \frac{x-sinx}{x+sinx}$

Answer 1

$1)\ \ \lim\limits _{x \to 0}\ \dfrac{x-sinx}{x+sinx}=[\, Lopital\, ]=\lim\limits _{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{1+cosx}=[\ cos0=1\ ]=\dfrac{1-1}{1+1}=\dfrac{0}{2}=0\\\\\\\\2)\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x-sinx}{x+sinx}=\lim\limits_{x \to 0}\Big(\dfrac{x}{x+sinx}-\dfrac{sinx}{x+sinx}\Big)=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{x}{x\cdot \Big(1+\dfrac{sinx}{x}\Big)}-\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x\cdot \Big(1+\dfrac{sinx}{x}\Big)}=$

$=\lim\limits_{x \to 0}\ \dfrac{1}{1+\dfrac{sinx}{x}}-\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{sinx}{x}}{1+\dfrac{sinx}{x}}=\Big[\ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{sinx}{x}=1\ \Big]=\\\\\\=\dfrac{1}{1+1}-\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$