Question

a) 2 sin²x = cos x +1;​

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = - + \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n$

$x_{2} = 2\pi \: n$

n €Z

Объяснение:

основное тригонометрическое тождество:

${sin}^{2} \alpha + {cos}^{2} \alpha = 1$

${sin}^{2} \alpha = 1 - {cos}^{2} \alpha$

подставим в уравнение

$2 \times ( 1 - {cos}^{2}x) + cosx= 1$

$2 - 2 {cos}^{2} x + cosx - 1 = 0$

$2 {cos}^{2}x- cos x - 1 = 0$

- тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

$cosx= t \\ - 1 \leqslant t \leqslant 1$

$2 {t}^{2} - t - 1 = 0$

$t_{1} = - \frac{1}{2}$

$t_{2} = 1$

обратная замена

$t_{1} = - \frac{1}{2} \\ cos x = - \frac{1}{2}$

$x = - + arccos( - \frac{1}{2} ) + 2\pi \: n$

$x = - + (\pi - arccos \frac{1}{2} ) + 2\pi \: n$

$x = - + (\pi - \frac{\pi}{3} ) + 2\pi \: n$

$x = - + \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n$

$t_{2} = 1$

$cosx = 1$

частный случай:

$x = 2\pi \: n$