Известно, что у числа 77 делител(-ь, -ей). Его разложили на простые множители. В какой наименьшей степени простой множитель может входить в это число? (Например, 2 входит в число 40 в третьей степени.)
Ответы
Само число по условию неизвестно, известно только количество делителей этого числа (77).
Неизвестное число разложили на простые множители:
, где натуральные числа
- простые множители,
- показатели степени простых множителей в разложении.
Каждый делитель неизвестного числа X можно представить в виде произведения всех простых множителей в некоторой степени.
, где каждый показатель степени может принимать любое значение от нуля до своего максимального значения:
Для показателя существует
значений, для показателя
существует
значений, и т.д.
Так как каждый простой множитель может входить в делитель числа Х в любой степени от нуля до максимального значения, то общее количество делителей числа можно посчитать как произведение, равное 77 по условию:
,
при этом в силу того, что показатели степени натуральные,
Так как единственным образом (не учитывая порядок множителей), то в разложении числа Х будет только 2 простых множителя в степенях 6 и 10:
То есть простой множитель может входить в число X в наименьшей степени 6.
=======================================
Например, возьмём число:
Каждый делитель этого числа можно представить в виде:
Всего у числа будет
делителей.
Ответ: наименьшая степень простого делителя 6.