Question

Известно, что у числа 77 делител(-ь, -ей). Его разложили на простые множители. В какой наименьшей степени простой множитель может входить в это число? (Например, 2 входит в число 40 в третьей степени.)

Answer 1

Само число по условию неизвестно, известно только количество делителей этого числа (77).

Неизвестное число разложили на простые множители:

$X=a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdot...$,    где  натуральные числа

       $a_1,a_2,...$  -  простые множители,

       $n_1,n_2,...$  - показатели степени простых множителей в разложении.

Каждый делитель $(d_i)$ неизвестного числа X  можно представить в виде произведения  всех  простых множителей в некоторой степени.

$d_i=a_1^{k_1}\cdot a_2^{k_2}\cdot ...$ ,  где каждый показатель степени может принимать любое значение от нуля до своего максимального значения:

$k_1\in\{0;1;...;n_1\};\ \ \ \ k_2\in\{0;1;...;n_2\};\ \ \ ...$

Для показателя $k_1$  существует $(n_1+1)$ значений, для показателя $k_2$ существует $(n_2+1)$ значений, и т.д.

Так как каждый простой множитель может входить в делитель числа Х в любой степени от нуля до максимального значения, то общее количество делителей числа можно посчитать как произведение, равное 77 по условию:

$(n_1+1)\cdot (n_2+1)\cdot ...=77$ ,  

при этом в силу того, что показатели степени натуральные,

$(n_1+1)\geq2;\ \ (n_2+1)\geq2$  

Так как   $77=7\cdot 11$   единственным образом (не учитывая порядок множителей), то в разложении числа Х будет только 2 простых множителя в степенях 6 и 10:

$n_1+1=7;\ \ \ \ n_1=6\\n_2+1=11;\ \ \ \ n_2=10$

То есть простой множитель может входить в число X в наименьшей степени 6.

=======================================

Например, возьмём число:

$X=16\,000\,000=2^4\cdot 10^6\boldsymbol{=2^{10}\cdot 5^6}$

Каждый делитель этого числа можно представить в виде:

$d_i=2^{m_1}\cdot 5^{m_2};\ \ \ \ \ m_2\in\{0;1;2;3;4;5;6\}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~m_1\in\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$

$d_1=2^0\cdot 5^0=1\\d_2=2^1\cdot 5^0=2\\d_3=2^2\cdot5^0=4\\~~~~~...\\d_{11}=2^{10}\cdot 5^0=1024\\d_{12}=2^0\cdot 5^1=5\\d_{13}=2^1\cdot 5^1=10\\~~~~~...\\d_{76}=2^9\cdot 5^6=8\,000\,000\\d_{77}=2^{10}\cdot 5^6=16\,000\,000$

Всего у числа  $16\,000\,000$  будет  $(10+1)\cdot (6+1)=77$  делителей.

Ответ: наименьшая степень простого делителя 6.