Question

Является ли множество компактным в данном пространстве:
$E={(x,y) | x^{2} +y^{2} \ \textless \ r^{2} }$ в $R^{2}$

Answer 1

Ответ:

Не является

Пошаговое объяснение:

Для компактности множества $E$ в $R^n$ необходимо и достаточно, чтобы множество

Покажем, что Е не замкнуто.

Рассмотрим последовательность точек $\{c_n\}=(|r|(1-\dfrac{1}{n}),0)$. Очевидно, она принадлежит Е (и правда, $(|r|(1-\dfrac{1}{n}))^2+0^2=(|r|(1-\dfrac{1}{n}))^2< (|r|*1)^2=r^2\;\;\forall n\in N$ ).

Но $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=(|r|,0)$ - точка, не принадлежащая множеству Е (и правда, $|r|^2+0^2=r^2>=r^2$). А это и означает, что множество Е не замкнуто

Необходимое условие не выполнено, а значит Е не является компактным в данном пространстве