Question

Является ли множество компактным в данном пространстве: $E ={ (x,y,z) | x+y+z=a}$ в $R^{3}$

Answer 1

Ответ:

Не является

Пошаговое объяснение:

Для компактности множества $E$ в $R^n$ необходимо и достаточно, чтобы множество $E$ было ограниченным и замкнутым.

Покажем, что $E=\{(x,y,z)|x+y+z=a\}$ не является ограниченным.

И правда: $\forall A>0\; \exists c\in E\; |c|>A$, для каждого фиксированного А можно брать, например, $c=(A,A,a-2A)$ - очевидно, принадлежит Е, и при этом $|c|=\sqrt{A^2+A^2+(a-2A)^2}\geq \sqrt{A^2+A^2}>\sqrt{A^2}=A$.

Необходимое условие не выполнено, а значит множество не является компактным в данном пространстве