Question

Даны вершины пирамиды А(3,4,2) В(5,1,-3) С(5,2,6) D (-4,-8,7) Найти длину высоты, опущенной из вершины В

Answer 1

Высота из вершины В опускается на грань ACD.

Находим площадь этой грани векторным методом.

Вектор AC = (5-3; 2-4; 6-2) = (2; -2; 4),

Вектор AD = (-4-3; -8-4; 7-2) = (-7; -12; 5).

Находим площадь треугольника ACD как половину модуля векторного произведения векторов AC и AD.

i         j        k|          i            j

2      -2        4|         2          -2

-7     -12       5|        -7          -12  = -10i - 28j - 24k - 10j + 48i - 14k =

                                                  = 38i - 38j - 38k.

Модуль равен √(38² + (-38)² + (-38)²) = √4332 = 38√3  ≈ 65,81793069.

S = (1/2)*38√3 = 19√3 ≈ 32,90896534.

Определяем вектор АВ.

АВ = (5-3; 1-4; -3-2) = (2; -3; -5).

Находим объём пирамиды как смешанное произведение:

V = (1/6)*|ACxAD|*AB = (1/6)*(38*2 + (-38)*(-3) + (-38)*(-5)) = 380/6 = 190/3.

Высота из вершины В равна:

H(B) = 3V/S(ACD) = (190*3/3)/(19√3) = 10√3/3 ≈ 5,773502692.

  √