Question

Определить внутренний угол при вершине А треугольника АВС, если А(1,2,1) В(3,-1,7) С(7,4,-2)

Answer 1

Ответ:

$arccos(-\frac{12}{49} )$

Пошаговое объяснение:

Составим вектора имеющие начало в точке A, а конец в B или C:

AB = {2, -3, 6}

AC = {6, 2, -3}

Скалярное произведение:

AB * AC = 12 - 6 - 18 = -12

AB*AC ≠ 0, значит вектора не перпендикулярны

Найдем длины векторов:

|AB| = $\sqrt{4 + 9 + 36} = 7$

|AC| = $\sqrt{36 + 4 + 9} = 7$

Пусть $\alpha$ - искомый угол (он же угол между векторами АВ и АС)

Приравняем скалярное произведение через длины к скалярному произведению через координаты:

|AB| * |AC| * cos $\alpha$ = -12

Выразим косинус угла $\alpha$

cos $\alpha$ = $\frac{-12}{|AB| * |AC|}$ = $-\frac{12}{49}$

Выразим $\alpha$ через обратную тригонометрическую функцию

$\alpha$ = $arccos(-\frac{12}{49} )$

Примечание:

Найти этот арккосинус можно с помощью калькулятора, окажется что наш искомый угол равен примерно 104°. Также это проверяется построением треугольника в системе координат.