Question

Дано утверждение: «Сумма первых n чисел натурального ряда равна n(n+1)/2». Запиши пропущенное в этапах доказательства этого утверждения.

Answer 1

Ответ:

$1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

1. Проверим, для n = 1:

$1=\dfrac{1(1+1)}{2}=\dfrac{2}{2}=1$  - верно.

2. Предположим, что верно для n = k:

$1+2+3+...+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$

3. Докажем, что верно для n = k + 1:

$1+2+3+...+k+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2}=$

$=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}=\dfrac{(k+1)\cdot k+(k+1)\cdot 2}{2}=$

$=\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)$

Но мы предположили, что

$\dfrac{k(k+1)}{2}=1+2+3+...+k$

Тогда

$1+2+3+...+k+(k+1)=1+2+3+...+k+(k+1)$

То есть утверждение верно.