Question

Извлечь квадратный корень √(1 + ctg^2 6).

Answer 1

$\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 6}$

Воспользовавшись формулой $1 + \mathrm{ctg}^2 x=\dfrac{1}{\sin^2x}$, получим:

$\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 6}=\sqrt{\dfrac{1}{\sin^26} }$

Воспользовавшись формулами $\sqrt{\dfrac{a}{b} } =\dfrac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} }$ и $\sqrt{x^2} =|x|$, получим:

$\sqrt{\dfrac{1}{\sin^26} }=\dfrac{1}{\sqrt{\sin^26} } =\dfrac{1}{|\sin6| }$

Оценим выражение $\sin6$. Для этого оценим аргумент следующим образом:

$4.71\approx\dfrac{3\pi}{2} <6<2\pi\approx6.28$

Понятно, что угол в 6 радиан располагается в 4 четверти, где синус принимает отрицательные значения. Зная это, раскроем модуль:

$\dfrac{1}{|\sin6| }=\dfrac{1}{-\sin6 }=-\dfrac{1}{\sin6 }$

Таким образом:

$\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 6}=-\dfrac{1}{\sin6 }$