Question

Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение
¬(x ∈ {1,2,4,8,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,4,9,16}) ∨ (x ∈ A)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Answer 1

Ответ:

7

Объяснение:

Пусть U = ¬(x ∈ {1,2,4,8,16}), V =  ¬(x ∈ {3,4,9,16}), W = (x ∈ A). Тогда выражение имеет вид U ∧ V ∨ W = (U ∧ V) ∨ W

U истинно для всех x, кроме 1, 2, 4, 8 и 16.

V истинно для всех x, кроме 3, 4, 9 и 16.

Когда оба U, V истинны, тогда (и только тогда) истинно U ∧ V, а значит и всё выражение, так как 1 ∨ W = 1 при любом W.

U и V одновременно истинны для всех x, кроме 1, 2, 3, 4, 8, 9 и 16. Чтобы выражение для таких x было истинно, необходимо, чтобы было истинно W, то есть x принадлежало A.

Поэтому A обязательно принадлежат 1, 2, 3, 4, 8, 9 и 16 - 7 чисел. Возможно, A содержит и что-то ещё, но в вопросе интересуются множеством наименьшего размера, так что ответ 7.