Question

Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар
радиуса R
Знаю только то что в решении используются производные ...

Answer 1

Ответ:

Радиус основания = R*$\sqrt{2/3}$, высота = R * 2/$\sqrt{3}$.

Пошаговое объяснение:

Посмотрим на шар сбоку (см. рис). Тогда цилиндр мы будем видеть как прямоугольник. Пусть, a - диаметр круга в основании цилиндра, b - высота цилиндра. Тогда объем цилиндра вычисляется по формуле

V = pi * (a/2)² * b = (pi/4) * a²b

Чтобы объем был максимальным, нужно, чтобы величина a²b была максимальной. Заметим, что a² = c²-b² = 4R² - b²

max(a²b) = max((4R²-b²)*b)

Пусть, f(b) = (k-b²)*b, где k = 4R².

Эта функция имеет график, как на рисунке, т.е. проходит через точку (0;0). Нас интересует максимум при b>0. Он достигается в точке, где f'(b) = 0.

f'(b) = k - 3b² = 0.

b = +- $\sqrt{k/3}$

b = -$\sqrt{k/3}$ не подходит, т.к. b положительно.

Значит, b = $\sqrt{k/3}$ = R * 2/$\sqrt{3}$

a = $\sqrt{4R^2 - b^2}$ = $\sqrt{8/3 * R^2}$ = R * 2$\sqrt{2/3}$, радиус основания в 2 раза меньше, т.е. R*$\sqrt{2/3}$