Question

Решите пожалуйста. 35 баллов.

Answer 1

Ответ:

1.

$\cos( \alpha ) = - \frac{5}{13}$

III четверть => sin(a) будет отрицательным.

$\sin( \alpha ) = - \sqrt{1 - { \cos( \alpha ) }^{2} } = - \sqrt{1 - \frac{25}{169} } = - \sqrt{ \frac{144}{169} } = - \frac{12}{13}$

$\sin(2 \alpha ) = 2 \sin( \alpha ) \times \cos( \alpha ) = 2 \times ( - \frac{5}{13} ) \times ( - \frac{12}{13} ) = \frac{120}{169}$

$\cos(2 \alpha ) = { \cos( \alpha ) }^{2} - { \sin( \alpha ) }^{2} = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = - \frac{119}{169}$

$\tan(2 \alpha ) = \frac{ \cos(2 \alpha ) }{ \sin(2 \alpha ) } = - \frac{119}{169} \times \frac{169}{120} = - \frac{119}{120}$

2.

$\sin( \alpha ) = - \frac{4}{5}$

угол принадлежит III четверти => cos(a) отрицательный.

$\cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{16}{25} } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5}$

$\sin( \frac{ \alpha }{2} ) = \sqrt{ \frac{1 - \cos( \alpha ) }{2} }$

Так как здесь угол делится пополам, значит он попадает в предыдущую четверть (II), поэтому перед корнем минус не появляется.

$\sin( \frac{ \alpha }{2} ) = \sqrt{ \frac{1 + \frac{3}{5} }{2} } = \sqrt{ \frac{8}{5} \times \frac{1}{2} } = \sqrt{ \frac{4}{5} } = \frac{4}{ \sqrt{5} }$

$\cos( \frac{ \alpha }{2} ) = \sqrt{ \frac{1 + \cos( \alpha ) }{2} }$

То же самое, но у косинуса во II четверти знак минус, значит ставим его перед корнем.

$\cos( \frac{ \alpha }{2} ) = - \sqrt{ \frac{1 - \frac{3}{5} }{2} } = - \sqrt{ \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} } = - \frac{1}{ \sqrt{5} }$

$\tan( \frac{ \alpha }{2} ) = \frac{ \sin( \frac{ \alpha }{2} ) }{ \cos( \frac{ \alpha }{2} ) } = \frac{4}{ \sqrt{5} } \times ( - \sqrt{5} ) = - 4$