Question

Вычислить следующие пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

Answer 1

8) Здесь применяется первый замечательный предел.

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin 3x}{1-\cos 4x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin 3x}{1-(1-2\sin^22x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\sin3x}{2\sin^22x}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\cdot 3x}{2\cdot (2x)^2}=\dfrac{3}{8}$

9, 10) В этих двух примерах применять нужно второй замечательный предел, т.к. здесь неопределенность $1^\infty$

$\lim\limits_{x\to 0}(1+\sin 2x)^{\frac{3}{\sin 2x}}=\left(\lim\limits_{x\to 0}(1+\sin 2x)^{\frac{1}{\sin 2x}}\right)^3=e^3$

$\lim\limits_{x\to 3}(4-x)^{\frac{2}{3-x}}=\left(\lim\limits_{x\to 3}(1+3-x)^{\frac{1}{3-x}}\right)^2=e^2$