Question

Докажите,что при любом натуральном n значение выражения
5) 9^n-8n-9 кратно 8, n>1​

Answer 1

$(9^n -8n -9)\ \vdots\ 8$

1 шаг. Проверим справедливость утверждения при n=2:

$9^2-8\cdot2-9=81-16-9=56\ \vdots\ 8$ - верно

2 шаг. Предположим, что при n=k следующее утверждение верно:

$(9^k -8k -9)\ \vdots\ 8$

3 шаг. Докажем, что при n=k+1 следующее утверждение также будет верно:

$(9^{k+1} -8(k+1) -9)\ \vdots\ 8$

Для доказательства выполним преобразования:

$9^{k+1} -8(k+1) -9=9\cdot9^k-8k-8-9=9^k+8\cdot9^k-8k-8-9=$

$=(9^k-8k-9)+8\cdot9^k-8=(9^k-8k-9)+8(9^k-1)$

Первое слагаемое делится на 8 по предположению, сделанному на предыдущем шаге. Второе слагаемое делится на 8, так как оно содержит множитель 8. Сумма двух выражений, делящихся на 8, также делится на 8, то есть, кратна 8. Доказано.