Question

Известно, что а+1/а=5. Запишите последовательность чисел, являющихся значениями выражений: а²+1/а²; а³+1/а³; а⁴+1/а⁴.

Answer 1

$\boxed{a+\dfrac{1}{a} =5}$

Возведем обе части в квадрат:

$\left(a+\dfrac{1}{a}\right) ^2=5^2$

$a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{a} +\left(\dfrac{1}{a}\right) ^2=25$

$a^2+2+\dfrac{1}{a^2}=25$

$a^2+\dfrac{1}{a^2}=25-2$

$\boxed{a^2+\dfrac{1}{a^2}=23}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)^2=23^2$

$(a^2)^2+2\cdot a^2\cdot\dfrac{1}{a^2} +\left(\dfrac{1}{a^2}\right) ^2=529$

$a^4+2+\dfrac{1}{a^4}=529$

$a^4+\dfrac{1}{a^4}=529-2$

$\boxed{\left{a^4+\dfrac{1}{a^4}}=527}$

Рассмотрим оставшееся выражение, преобразуем его по формуле суммы кубов и подставим известные значения:

$a^3+\dfrac{1}{a^3}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right) \left(a^2-a\cdot\dfrac{1}{a} +\left(\dfrac{1}{a}\right) ^2\right) =\left(a+\dfrac{1}{a}\right) \left(a^2-1 +\dfrac{1}{a^2}\right) =$

$=\left(a+\dfrac{1}{a}\right) \left(\left(a^2 +\dfrac{1}{a^2}\right)-1\right) =5\cdot \left(23-1\right) =5\cdot22=110$

$\boxed{a^3+\dfrac{1}{a^3}=110}$

Итак, искомая последовательность имеет вид: 23, 110, 527.

Ответ: 23, 110, 527