Question

sqrt(x+2*sqrt(x-1))+sqrt(x-2*sqrt(x-1))=6 Решите, пожалуйста

Answer 1

$\sf \displaystyle \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6$

Найдем ОДЗ:

$\sf \displaystyle x-1\geq0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x-2\sqrt{x-1}\geq0 \ \ \ (2) \\ x+2\sqrt{x-1}\geq0 \ \ \ (3)$

Условие (3) вытекает из условия (2), поэтому не будем рассматривать его отдельно.

$\sf \displaystyle (1) \ \ \ x-1\geq0 \ \ \Rightarrow \ \ x \geq 1 \\ (2) \ \ \ x-2\sqrt{x-1} \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ (x-2)^2 \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ x \in \mathbb R$

Рассмотрим подкоренные выражения. Заметим, что можно выделить полные квадраты:

$\sf \displaystyle x+2\sqrt{x-1}=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2\\x-2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2$

Извлекая корни, перепишем уравнение в следующем виде:

$\sf \displaystyle \left|\sqrt{x-1}+1\right|+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=6$

Очевидно, что выражение под левым модулем не может принимать отрицательных значений.

$\sf \displaystyle \sqrt{x-1}+1+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=6 \\ \sqrt{x-1}+ \left|\sqrt{x-1}-1\right|=5$

Рассмотрим два случая:

$\sf \displaystyle \boxed{\sf1} \ \ \ \sqrt{x-1}-1\geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{x-1} \geq 1 \ \ \Rightarrow \ \ x-1\geq 1 \ \ \Rightarrow \ \ x\geq 2 \\ \\ \sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}-1=5 \\ 2\sqrt{x-1}=6 \\ \sqrt{x-1}=3 \\ x-1=9 \\ x=10 \\ \\ \boxed{\sf2} \ \ \ \sqrt{x-1}-1< 0 \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt{x-1} < 1 \ \ \Rightarrow \ \ x-1<1 \ \ \Rightarrow \ \ x<2 \\ \\ \sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}+1=5 \\ 1=5 \\ x \in \varnothing$

Уравнение решено.

Ответ:  $\sf x=10$