Question

Докажи, что четырёхугольник АВCD является прямоугольником, найди его площадь, если А(14; 2), В(15; 3), С(13; 5) и D(12; 4).

Answer 1

Ответ: 4

Объяснение:

1. Если в четырёхугольнике три угла прямые, то это прямоугольник. Проверим этот признак.

$\overrightarrow{AB}=(15-14;3-2)=(1;1)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(13-15;5-3)=(-2;2)\\ \\ \overrightarrow{AD}=(12-14;4-2)=(-2;2)\\ \\ \overrightarrow{CD}=(12-13;4-5)=(-1;-1)$

Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Найдём тройку скалярных произведений:

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot(-2)+1\cdot 2=-2+2=0\\ \\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot(-2)+1\cdot 2=-2+2=0\\ \\ \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}=-2\cdot(-1)+2\cdot(-1)=2-2=0$

Так как скалярные произведения равны нулю, то углы A, B, D -- прямые, следовательно ABCD -- прямоугольник.

2. $S_{ABCD}=AB\cdot BC$

Найдём длины AB и BC:

$AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2\cdot1}=\sqrt{2}\\\\BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{2\cdot4}=2\sqrt{2}\\ \\ \\ S_{ABCD}=AB\cdot BC=\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=2\cdot2=4$