Question

Решить уравнение методом Коши. Даю 50 баллов!

Answer 1

Ответ:

$1)x \sqrt{1 + {y}^{2} } dx + y \sqrt{1 + {x}^{2} } dy = 0 \\ y \sqrt{1 + {x}^{2} } dy = - x \sqrt{1 + {y}^{2} } dx \\ ∫\frac{ydy}{ \sqrt{1 + {y}^{2} } } = ∫ \frac{ - xdx}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } \\ \frac{1}{2} ∫ \frac{2ydy}{ \sqrt{1 + {y}^{2} } } = - \frac{1}{2} ∫ \frac{2xdx}{ \sqrt{ {x}^{2} + 1 } } \\ \frac{1}{2} ∫ \frac{d( {y}^{2} + 1)}{ \sqrt{1 + {y}^{2} } } = - \frac{1}{2} ∫ \frac{d( {x}^{2} + 1)}{ \sqrt{1 + {x}^{2} } } \\ \frac{1}{2} \frac{ {(1 + {y)}^{ \frac{1}{2} } }}{ \frac{1}{2} } = - \frac{1}{2} \frac{ {( {x}^{2} + 1) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C \\ \sqrt{1 + {y}^{2} } = - \sqrt{1 + {x}^{2} } + C$

Это общее решение.

$2)(y + 2 \sqrt{xy} )dx - xdy = 0 \\ xdy = (y + 2 \sqrt{xy} )dx$

Разделим обе части на х:

$dy = ( \frac{y}{ x } + 2 \sqrt{ \frac{xy}{ {x}^{2} } } )dx \\ y' = \frac{y}{x} + 2 \sqrt{ \frac{y}{x} }$

Замена:

$\frac{y}{x} = U \\ y' = U'x + U$

$U'x + U = U + 2 \sqrt{U } \\ U'x = 2 \sqrt{U} \\ \frac{dU}{dx} x = 2 \sqrt{U} \\ ∫ \frac{dU}{ \sqrt{U} } = 2∫ \frac{dx}{x} \\ 2 \sqrt{U} = 2 ln(x) + C \\ 2 \sqrt{ \frac{y}{x} } = 2 ln(x) + C \\ \sqrt{ \frac{y}{x} } = ln(x) + C$

Это общее решение.

Задача Коши:

$y(e) = e \\ 2 \sqrt{ \frac{e}{e} } = 2 ln(e) + C \\ 2 = 2 + C \\ C = 0$

Получаем частное решение:

$\sqrt{ \frac{y}{x} } = ln(x) \\ \frac{y}{x} = { ln(x) }^{2} \\ y = x { ln(x) }^{2}$