Question

Найти разложение вектора а по базису p, q, r .
a=(6,12,-1), P=(1,3,0), q=(2,-1,1), r=(0,-1,2)

Answer 1

$a=(6;12;-1),\, P=(1;3;0),\, q=(2;-1;1),\, r=(0;-1;2)$

Запишем разложение в виде:

$a=\alpha \,p+\beta \, q+\gamma\, r$

Коэффициенты $\alpha, \quad \beta, \quad\gamma$ найдём через систему уравнений, где координата "х" вектора "а" равна сумме координат остальных векторов, аналогично поступим с координатой "у" и "z":

$\left\{\begin{array}{ccc} \alpha \times1+\beta \times2+\gamma\times0=6 \\ \alpha \times3+\beta \times(-1)+\gamma\times(-1)=12 \\ \alpha \times0+\beta \times1+\gamma\times2=-1\end{array}\\\quad \left\{\begin{array}{ccc}\alpha +2\beta =6\\3\alpha -\beta -\gamma=12\\\beta +2\gamma=-1\end{array}$

$\left\{\begin{array}{ccc}\alpha =6-2\beta \\3(6-2\beta) -\beta -\gamma=12\\\beta +2\gamma=-1\end{array}\\ \\\quad \left\{\begin{array}{ccc}\alpha =6-2\beta \\18 -7\beta -\gamma=12\quad |\times2\\\beta +2\gamma=-1\end{array}\\ \\\quad \left\{\begin{array}{ccc}\alpha =6-2\beta \\36 -14\beta -2\gamma=24\\\beta +2\gamma=-1\end{array}$

Сложим второе и третье уравнение системы:

$36-14\beta +\beta -2\gamma+2\gamma=24-1\\-13\beta =23-36\\-13\beta =-13\\\beta =1$

Найдём остальные переменные подставив значение $\beta$ в первое и третье уравнение системы:

$\left.\begin{array}{ccc} \alpha +2\beta =6\\\alpha +2\times1=6\\\alpha =6-2\\\alpha =4 \end{array}\\\quad\quad \begin{array}{ccc} \beta +2\gamma=-1\\1+2\gamma=-1\\2\gamma=-2\\\gamma=-1 \end{array}$

Подставим полученные коэффициенты в изначальное разложение. Тогда получим:

$a=4 \,p+ q-\, r$

Ответ: $a=4 \,p+ q-\, r$