Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
Помогите, пожалуйста, очень срочно нужно!

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{1}{x}\ \ ,\ \ y=x\ \ ,\ \ y=\dfrac{x}{4}$

$S=S_1+S_2=\int\limits^1_0\, dx\int\limits_{x/4}^{x} \, dy+\int\limits^2_1\, dx\int\limits^{1/x}_{x/4} \, dy=\int\limits^1_0\, \Big(y\Big|_{x/4}^{x}\Big)\, dx+\int\limits^2_1\, \Big(y\Big|_{x/4}^{1/x}\Big)\, dx=\\\\\\=\int\limits^1_0\, (x-\dfrac{x}{4})\, dx+\int\limits^2_1\, (\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{4})\, dx=\dfrac{3\cdot x^2}{4\cdot 2} \Big|_0^1+\Big(ln|x|-\dfrac{x^2}{4\cdot 2}\Big)\Big|_1^2=\\\\\\=\dfrac{3}{8}+\Big(ln2-\dfrac{1}{2} -\underbrace{ln1}_{0}+\dfrac{1}{8}\Big)=\dfrac{4}{8}-\dfrac{1}{2}+ln2=ln2$

Если считать площади двух симметричных областей ( так как не задано условие, что надо найти площадь области в 1 четверти), то площадь двух областей равна  $2S=2ln2$  .