Question

Вычислить определённый интеграл.
Пожалуйста, подробно, не с фотомэс.
Очень срочно!!!

Answer 1

Ответ:

$\int tg^4x\, dx=\Big[\ t=tgx\ ,\ x=arctgt\ ,\ \ dx=\dfrac{dt}{1+t^2}\ \Big]=\int \dfrac{t^4\cdot dt}{1+t^2}=\\\\\\=\int \Big(t^2-1+\dfrac{1}{1+t^2}\Big)\, dt=\dfrac{t^3}{3}-t+arctgt+C=\dfrac{tg^3x}{3}-tgx+x+C\\\\\\\\\int \limits _0^{\pi /4}tg^4x\, dx=\Big(\dfrac{tg^3x}{3}-tgx+x\Big)\Big|_0^{\pi /4}=\dfrac{1}{3}-1+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{2}{3}$