Question

Задание 3. Найти производную используя определение производной.

Answer 1

Ответ:

$-6x^2-8x+2$

Пошаговое объяснение:

По определению $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ , если предел существует.

Рассмотрим числитель:

$f(x+\Delta x)-f(x)=(-2(x+\Delta x)^3-4(x+\Delta x)^2+2(x+\Delta x)+1)-\\ -(-2x^3-4x^2+2x+1)=-2(x+\Delta x-x)((x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)x+x^2)-\\ -4(x+\Delta x-x)(x+\Delta x+x)+2(x+\Delta x-x)=-2\Delta x(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2+x^2+\\ +x\Delta x+x^2)-4\Delta x(2x+\Delta x)+2\Delta x=-2\Delta x(3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2+4x+2\Delta x-1)=\\ =\Delta x(-6x^2-8x+2)+\Delta x(-4\Delta x-6x\Delta x-2\Delta x^2)$

Тогда

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}((-6x^2-8x+2)+(-4\Delta x-6x\Delta x-2\Delta x^2))=-6x^2-8x+2$