Question

Помогите пожалуйста. Срочно. С обьяснением ​

Answer 1

Решение:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

$a)~ y = \dfrac{1}{2}x^2;~~~ y = 0;~~~x = 3;$

$S = \int\limits^3_0 {\dfrac{x^2}{2} } \, dx = \Big (\dfrac{x^3}{6} }\Big) \Bigg|_0^3 = 4.5$

$b)~ y = -x^2 - 2x;~~~y = 0;$

Нули функции у = -х² - 2х:   х₁ = -2; и х₂ = 0. Это и будут пределы интегрирования

$S = \int\limits^0_{-2} {(-x^2-2x)} } \, dx = \Big (-\dfrac{x^3}{3}-x^2 }\Big) \Bigg|_{-2}^0 = \\ \\=0 - \Big (\dfrac{(-2)^3}{3} - (-2)^2\Big )= -\Big (-\dfrac{8}{3}-4) = 6 \dfrac{2}{3}$

$c)~ y = sin~x;~~~ y = 0;~~~x = \dfrac{\pi}{3} ;$

$S = \int\limits^{\frac{\pi}{3}} _0 {sin~x} \, dx = (-cos~x)\Big |_0^{\frac{\pi}{3} } = -cos \dfrac{\pi}{3}- (-cos ~0) = -0.5 -(-1) = 0.5$

$d)~ y = \dfrac{1}{x^2} ;~~~ y = 0;~~~x= - 2;~~~x = -1;$

$S = \int\limits^{-1}_{-2} {x^{-2} } \, dx = \Big (-\dfrac{1}{3x^3} \Big )\Bigg|_{-2}^{-1}= \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{24} = \dfrac{7}{24}$