Question

В геометрической прогрессии сумма восьми членов равна 1020, сумма первых шестнадцати равна 262140. Укажи, чему равна сумма первых тринадцати членов этой прогрессии.
СПАМ СРАЗУ ЖЕ УДАЛЮ

Answer 1

Ответ:

32764 или -32772

Объяснение:

Формула для суммы первых n- членов геометрической прогрессии

$\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Подставим в эту формулу известные нам данные для S₈ и S₁₆

$\displaystyle 1020=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1} \\\\\\262140=\frac{b_1(q^{16}-1)}{q-1}$

И это у нас должна быть система уравнений.

Поделим второе на первое

$\displaystyle \frac{262140}{1020} =\frac{b_1(q^{16}-1)}{q-1} : \frac{b_1(q^{8}-1)}{q-1}\\\\\\257=\frac{q^{16}-1}{q^8-1}$

Далее разложим числитель как разность квадратов и решим уравнение относительно q

$\displaystyle 257=\frac{(q^8)^2-1}{q^8-1} \\\\257=\frac{q^8-1)(q^8+1)}{q^8-1} \\\\257 = q^8+1\\\\256=q^8\\\\2^8=q^8\\\\\boldsymbol {q=2;\quad q=-2}$

Итак, мы нашли два знаменателя геометрической прогрессии.

q = 2;  q = -2

Теперь посчитаем для них  первый член b₁

$\displaystyle 1020=\frac{b_1(2^8-1)}{2-1} \\\\\\\boldsymbol {b_1=\frac{1020}{255} =4}$

$\displaystyle 1020 = \frac{b_1((-2)^8-1) }{-2-1} \\\\\\b_1 = \frac{-3060}{255} =-12$

Т.е. одна прогрессия с положительными членами, другая со знакочередующимися.

А теперь посмотрим внимательно на формулу суммы первых n членов прогрессии и запишем ее в таком виде

$\displaystyle S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{b_1}{q-1} (q^n-1)$

и мы заметим, что у нас в обоих случаях отношение      $\displaystyle \frac{b_1}{q-1} =4$

Следовательно, какую бы пару (первый член, знаменатель) мы не взяли, сумма первых n членов, где n число четное, будет одинаковая, для обеих прогрессий.

А вот сумма первых n членов, где n число нечетное, будет различаться  для этих двух прогрессий.

Тогда, для прогрессии, где $b_1=4; \quad q=2$   S₁₃ будет равна

$\displaystyle S_{13}=\frac{4(2^{13}-1)}{1} =32764$

Для прогрессии, где   $b_1=-12; \quad q=-2$

$\displaystyle S_{13}=\frac{-12((-2)^{13}-1)}{-3} =-32772$

ответ

сумма первых тринадцати членов прогрессии с положительными членами  равна 32764

сумма первых тринадцати членов прогрессии со знакочередующимися членами рана -32772