Question

В геометрической прогрессии с положительными членами (bn): S2 = 8, S3 = 26.
Найди S8

Answer 1

Ответ:

6560

Объяснение:

Так как S₃ отличается от S₂ на величину b₃, то

$b_3=S_3-S_2=26-8=18$

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ получаем:

$b_3=b_1\cdot q^2=18$

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

$S_2=\dfrac{b_1(q^2-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(q-1)(q+1)}{q-1}=b_1(q+1)=8$

Составим и решим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{ll}b_1\cdot q^2=18\\b_1(q+1)=8\end{array}$

Разделим первое уравнение на второе:

$\left\{ \begin{array}{ll}\dfrac{q^2}{q+1}=\dfrac{9}{4}\\b_1\cdot q^2=18\end{array}$

Решим первое уравнение:

$\dfrac{q^2}{q+1}=\dfrac{9}{4}$

$4q^2=9(q+1)$

$4q^2-9q-9=0$

$D=81+144=225$

$q=\dfrac{9\pm 15}{8}$

$q_1=3$

$q_2=-\dfrac{3}{4}$

Так как прогрессия по условию с положительными членами, то q₂ не подходит.

$\left\{ \begin{array}{ll}q=3\\b_1(3+1)=8\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}q=3\\b_1=2\end{array}$

$S_8=\dfrac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\dfrac{2(3^8-1)}{3-1}=6561-1=6560$

Answer 2

Ответ:

$S{_8}= 6560.$

Объяснение:

$S{_2}= 8;\\S{_3}= 26$

Так как

$S{_2}= b{_1}+b{_2};\\S{_3}= b{_1}+b{_2}+b{_3}.$

Тогда

$b{_3}= S{_3}- S{_2};\\b{_3}= 26-8=18.$

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

$b{_n}= b{_1}\cdot q^{n-1} ;\\b{_3}= b{_1}\cdot q^{2} \\b{_1}+ b{_2}= b{_1}+b{_1}\cdot q$

Тогда составим систему

$\left \{\begin{array}{l}b{_1\cdot q^{2} = 18, \\ b{_1}+b{_1}\cdot q= 8; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}b{_1\cdot q^{2} = 18, \\ b{_1}(1+q)= 8; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}\dfrac{8}{1+q} \cdot q^{2} = 18, \\ b{_1}= \dfrac{8}{1+q} ; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}8 q^{2} = 18(1+q), \\ b{_1}= \dfrac{8}{1+q} ; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}8 q^{2} -18q-18=0 \\ b{_1}= \dfrac{8}{1+q} ; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l}4 q^{2} -9q-9=0 \\ b{_1}= \dfrac{8}{1+q} \end{array} \right.$

Решим первое уравнение системы

$4q^{2} -9q-9=0;\\D= (-9) ^{2} -4\cdot4\cdot(-9)= 81+144=225 =15^{2} \\\\q{_1}= \dfrac{9-15}{8} =-\dfrac{6}{8} =-\dfrac{3}{4} ;\\\\q{_2}= \dfrac{9+15}{8} =\dfrac{24}{8} =3$

Так как по условию геометрическая прогрессия с положительными членами, то $q=3.$

Найдем первый член геометрической прогрессии

$b{_1}= \dfrac{8}{1+3} =\dfrac{8}{4} =2$

Найдем сумму восьми первых членов геометрической прогрессии, воспользовавшись формулой суммы n-первых членов геометрической прогрессии

$S{_n}= \dfrac{b{_1} (q^{n}-1) }{q-1 } ;\\\\S{_8}= \dfrac{b{_1} (q^{8}-1) }{q-1 } ;\\\\S{_8}=\dfrac{2\cdot ( 3^{8} -1)}{3-1} =\dfrac{2\cdot ( 3^{8} -1)}{2} =3^{8} -1=6561-1=6560 .$