Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, РЕШИТЬ ИНТЕГРАЛЫ. ОЧЕНЬ НАДО

Answer 1

Ответ:

$1)\int\limits \frac{ \sqrt{x} - 3 \sqrt[5]{ {x}^{2} } + 1}{ \sqrt[4]{x} } dx = \int\limits( \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt[4]{x} } - 3 \frac{ \sqrt[5]{ {x}^{2} } }{ \sqrt[4]{x} } + \frac{1}{ \sqrt[4]{x} } )dx = \int\limits( {x}^{ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} } - 3 {x}^{ \frac{2}{5} - \frac{1}{4} } + {x}^{ - \frac{1}{4} } )dx = \int\limits( {x}^{ \frac{1}{4} } - 3 {x}^{ \frac{3}{20} } + {x}^{ - \frac{1}{4} } )dx = \frac{ {x}^{ \frac{5}{4} } }{ \frac{5}{4} } - 3 \frac{ {x}^{ \frac{23}{20} } }{ \frac{23}{20} } + \frac{ {x}^{ \frac{3}{4} } }{ \frac{3}{4} } + C = \frac{4}{5} x \sqrt[4]{x} - \frac{60}{23} x \sqrt[20]{ {x}^{3} } + \frac{4}{3} \sqrt[4]{ {x}^{3} } + C$

2)

Замена:

$arccos(x) = t \\ - \frac{1}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } dx = dt \\ \frac{dx}{ \sqrt{1 - {x}^{2} } } = - dt$

$- \int\limits \frac{dt}{t} = - ln(t) + C = - ln(arccos(x)) + C$

3) По частям:

$U = 2x + 3 \: \: \: \: \: \: dU = 2dx \\ dV = \cos(x) dx \: \: \: \: V = \sin(x)$

По формуле:

$\int\limits \: UdV = UV - \int\limits \: VdU = \\ = (2x + 3) \sin(x) - 2\int\limits \sin(x) dx = (2x + 3) \sin(x) + 2 \cos(x) + C$

4)

Замена:

$\sqrt{x} = t \\ x = {t}^{2} \\ dx = 2tdt$

$\int\limits \frac{2tdt}{t(1 + {t}^{2} )} = 2\int\limits \frac{dt}{1 + {t }^{2} } = 2arctg(t) + C = 2arctg( \sqrt{x} ) + C$

5)

Замена:

$\sqrt[3]{x + 1} = t \\ x + 1 = {t}^{3} \\ dx = 3 {t}^{2} dt \\ t1 = \sqrt[3]{1 + 7} = 2 \\ t2 = \sqrt[3]{1 - 1} = 0$

$\int\limits \frac{3 {t}^{2}dt }{1 + t} = 3\int\limits \frac{ {t}^{2} dt}{1 + t} = 3\int\limits(t - 1 + \frac{1}{t + 1} )dt = 3 \frac{ {t}^{2} }{2} - 3t + 3 ln(t + 1) + C$

Подставляем пределы (2 и 0)

$3 \times 2 - 6 + 3ln(3) - 0 - 0 - ln(1) = 3ln(3)$