Question

Дано:
Треугольник ABC
O - центр вписанной окружности
AC=BC=10
AB=12
OD перпенликулярно к ABC
OD=1
Найти: DC-?

Answer 1

Дано:  ΔABC;  AC = BC = 10;  AB = 12;

      O - центр вписанной окружности;

      D∉(ABC);   OD⊥(ABC);   OD = 1

Найти: DC-?

Решение:

Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. Значит, точка О лежит на биссектрисе угла BCA.

ΔABC  равнобедренный с основанием АВ, так как AC = BC. Значит, биссектриса СК, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является высотой и медианой, и проходит через центр вписанной окружности:

CO - биссектриса угла ABC, следовательно,

CK⊥AB;  AK = KB = AB:2 = 6.

Рассмотрим ΔAKC:  ∠AKC = 90°;  AK = 6;  AC = 10.

По теореме Пифагора:

CK² = AC² - AK² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 = 8²

CK = 8

Отрезок ОК - это радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно посчитать через полупроизведение основания на высоту или через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

$S_{\triangle}=\dfrac {ah}2=pr\\\\\dfrac{AB\cdot CK}2=\dfrac{AB+BC+AC}2\cdot OK\\\\\dfrac{12\cdot 8}2=\dfrac{12+10+10}2\cdot OK\\\\48=16\cdot OK;\ \ \ \ OK=\dfrac {48}{16}=3$

OC = CK - OK = 8 - 3 = 5;    OC = 5

Рассмотрим ΔDOC:  ∠DOC = 90°;  OD = 1;  OC = 5.

По теореме Пифагора:

$DC^2=OD^2+OC^2=1^2+5^2=26\\\\\boxed{\boldsymbol{DC=\sqrt{26}}}$

Ответ: √26.