Question

Помогите пожалуйста!!! Вычислите площадь фигуры ограниченной параболой у=-х²+4х-3, касательной к параболе в точке М(0;-3) и прямой х=2

Answer 1

Ответ:

$\frac{8}{3}$

Объяснение:

Площадь указанной фигуры находится по формуле Ньютона-Лейбница с непосредственным участием первообразных.

Касательная и парабола касаются в точке (0; -3), значит, касательная имеет вид y = 4x-3 (смотри чертеж).

Для данных кривых фигура имеет три общие точки: точка касания (0; -3), точка пересечения параболы и х=2 - точка (2; 9) и точка пересечения прямой y=4x-3 и прямой х=2 - точка (2; 5).

Имеем

$S=\int\limits^2_0 {(x^{2}+4x-3)-(4x-3) } \, dx =\int\limits^2_0 {x^{2}+4x-3-4x+3 } \, dx =$

$=\int\limits^2_0 {x^{2} } \, dx =\frac{x^{3} }{3} |_{0} ^{2} =F(2)-F(0)=\frac{2^{3} }{3}-\frac{0^{3} }{3} =\frac{8}{3}$.