Question

В геометрической прогрессии (bn ) известно, что b6 – b4 = 72, а b1 – b3 = 9.
a) Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
b) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии.

Answer 1

Дано

$(b_n)$  -геометрическая прогрессия;

$b_6-b_4 = 72$

$b_1-b_3 = 9.$

Найти:  $b_1$;  $q;$  $S_8$

Решение.

1)  $b_n=b_1q^{n-1}$

   $\left \{ {{b_6-b_4=72} \atop {b_1-b_3=9 }} \right.$

    $\left \{ {{b_1q^5-b_1q^3=72} \atop {b_1-b_1q^2=9 }} \right.$

    $\left \{ {{-q^3(b_1-b_1q^2)=72} \atop {b_1-b_1q^2=9 }} \right.$

     $\left \{ {{q^3(b_1-b_1q^2)=-72} \atop {b_1-b_1q^2=9 }} \right.$

    $\left \{ {{q^3*9=-72} \atop {b_1-b_1q^2=9 }} \right.$

     $q^3=-72:9$

    $q^3=-8$

    $q=\sqrt[3]{-8}=-2$

    $q=-2$

2)    $b_1 - b_1q^2=9$  => $b_1(1-q^2) = 9$   =>

      $b_1=\frac{9}{1-q^2} =\frac{9}{1-(-2)^2}=\frac{9}{1-4}=\frac{9}{-3}=-3$

     $b_1 = -3$

3)  $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

    $S_8=\frac{-3*(1-(-2)^8)}{1-(-2)} =\frac{-3*(1-2^8)}{1+2}= \frac{-3*(1-256)}{3}=-( -255)=255$

     $S_8=255$

Ответ:  $b_1 = -3$

           $q=-2$

          $S_8=255$