Question

Как это решать заменой?

Answer 1

Заменим (x - 3)/(x + 2) на a

Тогда уравнение принимает следующий вид:

a² - 15 = 16 · 1/a²

[Пояснение: если мы делим единицу на какую-то дробь, то мы, фактически, "переворачиваем" ее. Можешь сам проверить на листочке]

a² - 15 - 16/a² = 0  l · a² (умножаем все уравнение на a²)

a⁴ - 15a² - 16 = 0

для простоты понимания, заменим a² на z

z² - 15z - 16 = 0

Далее находим корни через дискриминант

D = b² - 4ac

D = 225 - 4 · (-16) = 225 + 64 = 289 = 17²

z₁ = (15 + 17)/2 = 32/2 = 16

z₂ = (15 - 17)/2 = -2/2 = -1

Отлично, теперь производим обратную замену.

a² = 16 ; a = ±4

a² = -1 (не подходит)

[ (x - 3)/(x + 2) = 4

[ (x - 3)/(x + 2) = -4

[ x - 3 = 4x + 8

[ x - 3 = -4x - 8

[ 3x = - 11

[ 5x = -5

[ x = -11/3

[ x = -1

Это и есть наши корни)

Ну вроде бы все. Если что-то непонятно - пиши ^_^

p.s. не думаю, что тут нужно, но на всякий случай напишем ОДЗ:

x ≠ -2 ; x ≠ 3

Answer 2

((x - 3)/(x + 2))^2 - 15 = 16((x + 2)/(x - 3))^2

((x - 3)/(x + 2))^2  = t > 0

одз x ≠ -2  x ≠ 3

t - 15 = 16/t     |*t

t² - 15t - 16 = 0

D = 15^2 + 4*16 = 225 + 64 = 289 = 17^2

t12 = (15 +- 17)/2 = -1   16

t1 = -1 нет < 0

t2 = 16

((x - 3)/(x + 2))^2  = 16   |*(x + 2)^2

(x - 3)^2  = 16(x + 2)^2

(x - 3)^2  - (4(x + 2))^2 = 0

a² - b² = (a - b)(a + b)

(x - 3 - 4(x + 2))*(x - 3 + 4(x + 2)) = 0

(-3x - 11)(5x + 5) = 0

-3x - 11 = 0

x1 = -11/3

5x + 5 = 0

x2 = -1

Ответ x = {-1, -11/3}