Question

В тетраэдре DАВС точки P,М,Q,N – середины ребер DВ, DС, АС, АВ соответственно.
РQ =NM = 15cм, ВC = 18cм. Докажите, что NPMQ – прямоугольник. Найдите длину
отрезка DА. Желательно подробно.

Answer 1

В тетраэдре DАВС точки P,М,Q,N – середины ребер DВ, DС, АС, АВ соответственно.  РQ =NM = 15cм, ВC = 18cм. Докажите, что NPMQ – прямоугольник. Найдите длину  отрезка DА.

Объяснение:

1) ΔABD ,NP-средняя линия ⇒NP=1/2*AD  и NP║AD;

2) ΔAСD ,MQ-средняя линия ⇒MQ=1/2*AD и MQ║AD;  Получили NP=MQ и NP║MQ.

            Учитывая 1 и 2 получаем, что MPNQ- параллелограмм , тк противоположные стороны равны и параллельны .Учитывая , что

РQ =NM (признак прямоугольника), получаем , что NPMQ – прямоугольник.

Отрезок DA=2*MQ по т. о средней линии треугольника.

Отрезок MQ=√(NM²-NQ²) из ΔMNQ.

Отрезок NQ найдем из ΔABC  по т. о средней линии треугольника:  

NQ=1/2*ВС=1/2*18=9 (см).

ΔMNQ-прямоугольный , по т. Пифагора MQ=√(15²-9²)=12(см) ⇒

DA=2*12=24 (cм) .