Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 18. Найди b4, если b1 – b2 = 8.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{4}{9}.$

Объяснение:

$S= 18;\\b{_1}-b{_2}= 8$

Воспользуемся следующими формулами

$S= \dfrac{b{_1}}{1-q} ;\\\\b{_n}= b{_1}\cdot q^{n-1}$

и составим систему уравнений.

$\left \{\begin{array}{l} \dfrac{b{_1}}{1-q} =18, \\ b{_1}-b{_1}\cdot q =8;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b{_1} =18\cdot(1-q) , \\ b{_1}(1-q )=8;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} b{_1} =18\cdot(1-q) , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} \dfrac{8}{1-q} =18\cdot(1-q) , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l}8 =18\cdot(1-q)^{2} , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} (1-q)^{2} =\dfrac{4}{9} , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} \left [\begin{array}{l} 1-q=\dfrac{2}{3} \\ 1-q=-\dfrac{2}{3} \end{array} \right. , \\\\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} \left [\begin{array}{l} q=\dfrac{1}{3} \\ \\ q=\dfrac{5}{3} \end{array} \right. , \\\\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} .\end{array} \right.$

Так как задана бесконечная геометрическая прогрессия , то  |q|<1 и тогда

$q= \dfrac{1}{3}$

Найдем первый член геометрической прогрессии

$b{_1}= \dfrac{8}{1-\dfrac{1}{3} } =\dfrac{8}{\dfrac{2}{3} } =\dfrac{8\cdot3}{2} =\dfrac{24}{2} =12 .$

Найдем четвертый член геометрической прогрессии, воспользовавшись формулой n- го члена

$b{_4}= b{_1}\cdot q^{3} ;\\b{_4}= 12\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right ) ^{3}=12\cdot \dfrac{1}{27} =\dfrac{12}{27}= \dfrac{4}{9}.$