Question

В треугольнике АВС угол между сторонами АВ = 3 см и АС = 6 см равен 60°.
В вершине этого угла построен перпендикуляр АМ = 12 см к плоскости
треугольника. Найдите расстояния от концов перпендикуляра к середине
стороны ВС.

Answer 1

Ответ:

АК= $\frac{3\sqrt{7} }{2}$

МК= $\frac{3\sqrt{71} }{2}$

Объяснение:

Надо найти АК и МК

Пусть К - середина стороны ВС.

По теореме косинусов:

ВС²=АВ²+АС²-2*АВ*АС*cos∠A = 9+36-2*3*6*$\frac{1}{2}$ = 27

ВС=√27,

ВК=КС= √27/2

Применим обратную т.Пифагора к ΔАВС:

АВ²+ВС²=АС² - проверим равенство. Если оно истинное, значит ∠В=90°

3²+(√27)² = 6²

9+27=36

36=36 - равенство верное, ⇒∠В=90° , ΔАВС - прямоугольный

Рассмотрим ΔАВК (∠В=90°).  

По теореме Пифагора: АК²= АВ²+ВК² = 9+ 27/4 = 63/4

АК= $\frac{3\sqrt{7} }{2}$ - нашли первое расстояние.

Рассмотрим ΔАМК.

Т.к. АМ⊥(АВС), то АМ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, а значит АМ⊥АК. ΔАМК - прямоугольный. ∠А=90°

По теореме Пифагора: МК²=АМ²+АК²=144+63/4=639/4

МК= $\frac{3\sqrt{71} }{2}$ - нашли второе расстояние