Question

Знайдіть косинус кута А трикутника АВС, якщо А(-3; 1), В(1; 3), C(5; -5).
​

Answer 1

Ответ:

$cosA=\dfrac{\sqrt{5} }{5}$

Пошаговое объяснение:

Найдем длины сторон треугольника, как расстояние между точками по формуле:

$d=\sqrt{(x{_1}-x{_2})^{2}+(y{_1}-y{_2})^{2} }$

$AB=\sqrt{(-3-1)^{2}+(1-3)^{2} } =\sqrt{(-4)^{2} +(-2)^{2} } =\sqrt{16+4} =\sqrt{20} ;\\\\BC=\sqrt{(1-5)^{2}+(3+5)^{2} } =\sqrt{(-4)^{2} +8^{2} } =\sqrt{16+64} =\sqrt{80} ;\\\\AC=\sqrt{(-3-5)^{2}+(1+5)^{2} } =\sqrt{(-8)^{2} +6^{2} } =\sqrt{64+36} =\sqrt{100} =10.$

Так как

$AC^{2} =AB^{2} +BC^{2} ;\\10^{2} =(\sqrt{20} )^{2} +(\sqrt{80} )^{2};\\100=20+80;\\100=100.$,

то по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔABC- прямоугольный с гипотенузой AC .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета на гипотенузу.

$cosA=\dfrac{AB}{AC} ;\\\\cosA=\dfrac{\sqrt{20} }{10}=\dfrac{2\sqrt{5} }{10} =\dfrac{\sqrt{5} }{5}$