Question

Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x2, x=0 и x=1, y=0 вокруг оси абсцисс
​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x², x₁=0 и x₂=1, y=0 вокруг оси абсцисс

​$V = \pi \int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2} )^2\, dx$

сначала рисуем графики и сразу видим, что у нас получается "воронка"

у₁ = х²;  у₂ = 0

итак, считаем определенный интеграл

$V = \pi \int\limits^1_0 {(x^2-0)^2} \, dx = \frac{x^5}{5} I_0^1 = \frac{\pi }{5}$

Answer 2

Ответ:

$\frac{\pi }{5}$  кубических единиц

Пошаговое объяснение:

Надо посчитать тройной интеграл. (чтобы не помнить никаких других формул)

пределы интегрирования:

y изменяется от 0 до $x^{2}$;

x изменяется от 0 до 1;

угол поворота α меняется от 0 до 2π (полный поворот)

$S=\int\limits^{2\pi} _0 {\int\limits^1_0 {\int\limits^{x^{2}} _0 {y} \, dy } \, dx } \, d\alpha\\ S=\int\limits^{2\pi} _0 {\int\limits^1_0 {\frac{y^{2} }{2} \limits^{x^{2}} _0} \, dx } \, d\alpha\\S=\int\limits^{2\pi} _0 {\int\limits^1_0 {\frac{x^{4} }{2} } dx } \, d\alpha\\S=\int\limits^{2\pi} _0 {\frac{x^{5} }{10}}\limits^1_0 d\alpha\\\\S={2\pi} \frac{1 }{10}\\S=\frac{\pi }{5}$