Question

нужно решить интеграллы

Answer 1

Ответ:

$17)\int\limits \frac{1 - 3x}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} } dx$

Находим производную знаменателя и делаем ее в числителе:

$(4 {x}^{2} + 4x + 17) = 8x + 4$

$\int\limits \frac{1 - 3x}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} } dx = - \frac{3}{8} \int\limits \frac{ \frac{8}{3} \times (3x - 1)}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17 } }dx = - \frac{3}{8} \int\limits \frac{(8x - \frac{8}{3} )dx}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} } = - \frac{3}{8} \int\limits \frac{(8x + 4 - \frac{20}{3} )dx}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} } = - \frac{8}{3} (\int\limits \frac{8x + 4}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} }dx + \frac{3}{8} \times \frac{20}{3} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} }$

решаем первый интеграл:

$- \frac{3}{8} \int\limits \frac{8x + 4}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17 } } dx = - \frac{3}{8} \int\limits \frac{d(4 {x}^{2} + 4x + 17) }{ {(4 {x}^{2} + 4x + 17)}^{ \frac{1}{2} } } = - \frac{3}{8} \times \frac{ {(4 {x}^{2} + 4x + 17) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + c = - \frac{3}{4} \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} + c$

второй интеграл:

$\frac{5}{2} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} }$

для этого выделим квадрат суммы в знаменателе:

$4 {x}^{2} + 4x + 17 = {(2x)}^{2} + 2x \times 2 \times 1 + 1 + 16 = {(2x + 1)}^{2} + 16 = {(2x + 1)}^{2} + {4}^{2}$

$\frac{5}{2} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {(2x + 1)}^{2} + {4}^{2} } } = \frac{5}{2} \times \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x + 1)}{ \sqrt{ {(2x + 1)}^{2} + {4}^{2} } } = \\ \frac{5}{4} ln(2x + 1 + \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} ) + c$

Получаем решение:

$\int\limits \frac{(1 - 3x)dx}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17 } } = \\ - \frac{3}{4} \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17} + \frac{5}{4} ln(2x + 1 + \sqrt{4 {x}^{2} + 4x + 17 } ) + c$

____________________________

$18)\int\limits \frac{(2x + 7)dx}{ {x}^{2} - x + 2}$

схема решения такая же.

производная знаменателя:

$( {x}^{2} - x + 2) = 2x - 1$

$\int\limits \frac{(2x - 1 + 8)}{ {x}^{2} - x + 2} dx = \int\limits \frac{2x - 1}{ {x}^{2} - x + 2 } dx + 8\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} - x + 2}$

выделим квадрат разности в заменателе:

${x}^{2} - x + 2 = {x}^{2} - 2 \times x \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = {(x - \frac{1}{2} )}^{2} + \frac{7}{4} = {(x - \frac{1}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{7} }{2}) }^{2}$

получаем:

$\int\limits \frac{(2x - 1)dx}{ {x}^{2} - x + 2 } + 8\int\limits \frac{dx}{ {(x - \frac{1}{2} )}^{2} + {( \frac{ \sqrt{7} }{2} )}^{2} } = \\ \int\limits \frac{d( {x}^{2} - x + 2)}{ {x}^{2} - x + 2 } + 8\int\limits \frac{d(x - \frac{1}{2} )}{ {(x - \frac{1}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{7} }{2}) }^{2} } = \\ ln( {x}^{2} - x + 2 ) + \frac{16}{ \sqrt{7} } arctg( \frac{x - \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{7} }{2} } ) + c = \\ ln( {x}^{2} - x + 2) + \frac{16}{ \sqrt{7} } arctg( \frac{2x - 1}{ \sqrt{7} } ) + c$