Question

Помогите пожалуйста решить 7 и8

Answer 1

7. Нули функции - это те значения $x$, при которых функция обращается в 0. То есть:

$f(x) = 0\\2\sin(\frac{\pi}{6} - x) - \sqrt{2} = 0\\\\2\sin(\frac{\pi}{6} - x) = \sqrt{2}\\\\\sin(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем получившееся уравнение:

$\left[ \begin{gathered} \frac{\pi}{6}-x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\\\\ \frac{\pi}{6} - x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \\ \end{gathered} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} -x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k\\\\ - x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \\ \end{gathered} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = -\frac{\pi}{12} - 2\pi k\\\\ x = -\frac{7\pi}{12} - 2\pi k \\ \end{gathered}$ , где можно поменять знак:

$\left[ \begin{gathered} x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k\\\\ x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi k \\ \end{gathered}$ , при этом $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули данной функции: $-\dfrac{\pi}{12} + 2\pi k; -\dfrac{7\pi}{12} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} .$

8.

$3\cos^2x + 2\sin x \cos x = \sin^2x\\3\cos^2x + 2\sin x \cos x - \sin^2x = 0$

Разделим обе части на уравнения на $\cos^2x \neq 0$ :

$\dfrac{3\cos^2x}{\cos^2x} + \dfrac{2\sin x \cos x}{\cos^2x} - \dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} = 0\\\\3 + 2tgx - tg^2x = 0$

Вводим замену: $t = tgx; t \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, тогда:

$3+2t-t^2 = 0\\t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = -3\\x_{1} + x_{2} = 2\end{cases}\end{equation*} \Rightarrow x = 3; x=-1$

Обратная замена:

$\left[ \begin{gathered} tgx = 3\\tgx = -1 \\ \end{gathered} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = arctg3 + \pi k\\x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \\ \end{gathered}$

Ответ: $arctg3 + \pi k; \dfrac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$